Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Variation - Variationsinstrument - Variationskalkylen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
af en allmännare funktion, hvilken förutom de
egentliga variablerna innehåller en af dessa alldeles
oberoende variabel parameter (se Konstant). När
denna parameter undergår en elementär förändring,
blir detta fallet äfven med själfva funktionen;
och denna sista förändring, som således motsvarar
den allmänna fuktionens partiella differential
med afseende på den variabla parametern, är det,
som kallas funktionens variation. Den betecknas
med bokstafven δ framför funktionen; δu utläses
således "variationen af u". — I st. f. den absoluta
förändringen af funktionen låta några författare,
för att undvika talet om oändligt små kvantiteter,
variation betyda den relativa förändringen af
funktionen i förhållande till förändringen af den
variabla parametern, eller med andra ord de taga
ordet variation i betydelsen af funktionens partiella
derivata (i st. f. dess partiella differential)
med afseende på den variabla parametern. — C)
Konstanternas variation kallar man en allmän metod
för lösning af differentialekvationer, hvilken
består däruti, att man, då en differentialekvation
är gifven, först söker lösningen till en enklare
differentialekvation, som uppstår af den förra genom
bortlämnande af vissa termer, hvarefter man antar
integrationsresultatet till den enklare ekvationen —
hvilket innehåller vissa arbiträra konstanter — vara
gällande äfven för den fullständiga ekvationen, dock
så, att numera tecknen för de arbiträra konstanterna
icke längre betyda konstanter, utan funktioner af den
oberoende variabeln, hvilka det gäller att bestämma
("variera"). Metoden har sin hufvudsakliga användning
för lineära differentialekvationer eller för system
af dylika och leder då snabbt till målet. Ej
så enkel är dess tillämpning på icke-lineära
ekvationer, såsom vid konstanternas (elementens)
variation i störingsteorien, hvarmed man
förstår ofvan beskrifna förfarandes användning på
störingsproblemets differentialekvationer, i det man
utgår från integralerna till tvåkropparsproblemet
med dess sex element (konstanter): halfva storaxeln,,
excentriciteten, periheliets longitud, inklinationen,
nodens longitud och epoklongituden, eller ock från
vissa kombinationer af dessa element, hvarefter
man söker bestämma dessa element såsom funktioner
af tiden så, att himlakroppens rörelse ständigt
kan tänkas försiggå i en konisk sektion, hvars
element emellertid, då en störande kropp tages i
betraktande, kontinuerligt variera, och detta så,
att den föränderliga och rörliga koniska sektionen
(den oskulerande banan) ständigt tangerar kroppens
verkliga bana i den punkt, där kroppen i hvarje
ögonblick befinner sig. Jfr Störingar. —
5. Meteor. Se Lufttemperatur och Operiodisk
variation. — 6. Mus., förändring l. ombildning af ett
musikaliskt tema, vare sig i melodi eller harmoni,
rytm, taktart, tonsläkte o. s. v., men så, att det
ursprungliga temat dock alltid skiner igenom. Den
äldsta arten af variationer, de s. k. doubles,
omgaf temat endast med en rikare figuration. Haydn
vågade sig på mera genomgripande förändringar och
följdes däri af Beethoven. Man brukar skilja mellan
en endast formell förändring af temat och en sådan,
som modifierar äfven dess karaktär och uttryck. Den
förra arten är den förhärskande i Händels, Mozarts
och Mendelssohns variationsarbeten, den senare i
Beethovens, Schuberts, Schumanns och Brahms’. Ett
högre konstvärde få dylika arbeten, då de särskilda
variationerna icke mekaniskt och oförmedladt uppradas
efter hvarandra, hvilket lätt blir tröttsamt, utan
inarbetas i ett större helt, såsom i sorgmarschen
och finalen af "Sinfonia eroica". Schumann sökte
åstadkomma större enhet mellan olika symfonisatser
genom att låta samma tema återklinga förändradt
i flera sådana. Samma idé upptogs af Berlioz
i "Sinphonie fantastique", men med symbolisk
betydelse, i det temat, "l’idée fixe", representerar
en person. Detta gaf fart åt användningen och
varieringen af "ledmotiv" (se d. o.) — 7. Sjöv.,
en från engelskan lånad och i handelsflottan ofta
förekommande benämning på kompassens missvisning
l. deklination (se d. o.).
1. B—d. 2. L—e. 4 A) B) E. L. C) K. B. 6. A. L.*
Variationsinstrument, fys. Se Jordmagnetism, sp. 152.
Variationskalkylen är den del af den högre
matematiken, som har till föremål uppsökandet af vissa
definita integralers maxima och minima. I enlighet med
hvad som namnes i art. Variation 4 B) tänkas därvid
förändringarna hos integralerna icke såsom härrörande
af ändringar hos de oberoende variblerna, utan såsom
uppkommande genom ändringar i formen af de funktioner,
som de beroende variablerna beteckna. Antag t. ex.,
att y är någon icke närmare bestämd funktion af x
samt att u är en gifven funktion af x, y, –, - \
etc. Den mellan gifna gränser tagna integralen ʃ udx
måste då ha olika värden, alltefter som sambandet
mellan y och x ändras, och för något visst samband
dem emellan kan integralen få ett maximi- eller
minimivärde. Bestämmandet af dylika maximi- och
minimi värden är det, som utgör föremål för
variationskalkylen. Som exempel på uppgifter,
hvilka genom variationskalkylen finna sin lösning,
må anföras:
att finna den kortaste linje, som förenar två gifna
punkter på en gifven buktig yta;
att bland alla kroklinjer af gifven längd, som kunna
dragas mellan två gifna punkter, finna den, som med
sina yttersta ordinater och abscissaxeln bildar den
största ytan;
att bland alla kroklinjer af gifven längd, hvilka
förena två punkter, bestämma den, som genom sin
svängning omkring punkternas sammanbindningslinje
frambringar den solida figur, som har det största
kubikinnehållet;
att bland alla linjer af gifven längd, som förena två
punkter, finna den, hvars tyngdpunkt ligger lägst;
att bestämma den rotationskropp, som under rörelse
i ett flytande ämne röner minsta möjliga motstånd;
att bland alla linjer, som förena två punkter på
olika höjder, finna den, längs hvilken en kropp skulle
falla på kortast möjliga tid.
Den sista uppgiften, problemet om brachistochronan
(se d. o.), framställdes 1696 af Jean Bernoulli och
föranledde just variationskalkylens uppkomst. Jean
Bernoulli själf samt Jacques Bernoulli
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
