Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Grundläggande vetenskaper, av Olof Lodén - Matematik - 144. Diferentialekvationer
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Matematik
144. Differentialekvationer.
En differentialekvation är en ekvation, som innehåller derivator.
Den kallas partiell, om den innehåller partiell derivator, eljest ordinär.
En ordinär differentialekvation har formen
FIT „ d2 y
’ y’ dx ’ dx2 ’ dx3 ’
= 0.
Med differentialekvationens ordning förstås ordningen hos den
högsta däri förekommande derivatan. Här skola endast ekvationer av
första och andra ordningen behandlas.
Ekvationer av första ordningen, allmänt.
I den allmänna lösningen till en ordinär differentialekvation av
första ordningen erhålles y som en explicit eller implicit funktion av x,
varvid en godtycklig konstant C ingår i lösningen. Den allmänna
lösningen får alltså formen
t y, C) = o
Geometriskt representerar detta en plan kurva i xy-planet. Låter
man konstanten C successivt antaga olika värden, erhålles en skara
av likformiga kurvor. C benämnes kurvskarans parameter. Ges ett
bestämt värde åt C, erhålles en fixerad funktion av x och y,
representerande en individ av skaran, en s. k. partikulär lösning till ekvationen.
Om de kurvor, som erhållas för successiva värden på C, skära
varandra, så är kurvskarans envelopp orten för skärningspunkterna
mellan två oändligt närbelägna kurvor i skaran. Enveloppens ekvation
erhålles genom att eliminera C ur ekvationssystemet.
(p (æ, y, c) = o
d cp
= 0 [partiella derivatan av (x, y, C) med avseende på C].
Enveloppen tangerar samtliga individer av skaran.
Någon allmän regel för lösande av differentialekvationer av första
ordningen kan ej uppställas. En del av dessa kunna hänföras till vissa
klasser, för vilka här nedan formler skola anges för den allmänna
lösningen.
Separabla ekvationer.
Kan en differentialekvation
= f(x)-y(y), så erhålles efter s. k. separation av variablerna dess
lösning
dy\
dy\ o I • x-n r
—= 0 bringas till formen
dx:
dx
410
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
