Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - II. Rummet - Spekulativ rumsuppfattning - Den geometriska vetenskapen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
SPEKULATIV RUMSUPPFATTNING. DEN GEOMETRISKA VETENSKAPEN.
91
och 1.415 • 1.415 = 2.002225, så att V 2 ligger mellan. 1.414 och 1,415, likaså är 1.4142 • 1.4142 =
— 1.99996164 och 1.4143 • 1.4143 = 2.00024449, så att 12 ligger mellan 1.4142 och 1.4143. Genom
att skaffa sig fler och fler decimaler kan man få det sökta talet att ligga mellan två andra,
vilkas differens är hur liten som helst, och genom att man anger en metod, hur denna
räkneprocess obegränsat kan fortsättas, kan talet faktiskt anses otvetydigt bestämt.
Euklides, vilken ej ägde decimalbråk till sitt förfogande, och som för övrigt noga
skilde aritmetik från geometri, lyckas icke i sin tionde bok föra dessa frågor till någon
egentlig avslutning. Hans tionde bok har trots sina vidlyftiga utläggningar icke dess
mindre blivit berömd, särskilt därför att man som inledning till denna finner en sats, som
uppenbarligen visar, att han tänkt sig, att man genom en obegränsat fortsatt process skulle
kunna komma till en värdering. Vi skola längre fram återkomma till detta (sid. 107) för
den moderna analysen viktiga förfarande. Någon tillämpning av en dylik process
förekommer dock icke hos Euklides. I böckerna n:r 11, 12, 13 sysslar Euklides med figurer
i rummet; uti elfte boken behandlar han plan och räta linjer, parallellepipeden (d. v. s.
den raka och sneda lådan) och prismat (d. v. s. den med två parallella snitt avskurna
kantiga raka stången), uti tolfte boken pyramiden, cylindern, konen och sfären för att
slutligen i trettonde boken nå fram till de fem reguljära kropparna, vilka för den
tidens filosofiska tänkande stodo som de geometriska symbolerna för alltings ursprung
(jfr sid. 81).
Av de resultat, vartill Euklides genom sin metodiska framställning kommit, äga
några utomordentligt stor praktisk betydelse, framför allt hans metod att värdera
ytinnehållet hos en triangel. Vi ha tidigare sett, att egyptierna redan 1 700 år före vår
tidräknings början använt sig av likbenta trianglar för dylika beräkningar, och att de därvid
multiplicerade ihop den likbenta triangelns ena sida med dess bas samt därefter
halverade resultatet för att få triangelns yta. Metoden fordrade för att ge ett gott resultat, att
man uteslutande begagnade mycket smala trianglar och blev därför stundom rätt
besvärlig. Euklides löste denna uppgift på ett annat, betydligt elegantare sätt, och därvid
grundade han sig på ett axiom, vars självklarhet senare tiders forskare dock starkt
satt i fråga, det s. k. parallellaxiomet. Detta axiom innebär, att om två räta linjer
över-skäras av en tredje, så är summan av de två vinklar, som bildas på den ena sidan av den
skärande linjen, avgörande för möjligheten av de bägge linjernas inbördes skärning. Är
vinkelsumman mindre än ett halvt varv, 180°, så skära de bägge linjerna varandra förr
eller senare åt den sidan, där vinklarna uppmätts (se fig. 61); är vinkelsumman större än
180°, skära, de varandra åt det motsatta hållet; men om vinkelsumman är exakt 180°,
komma linjerna aldrig att skära varandra: de äro parallella, och avståndet mellan
linjerna är alltid detsamma, om man ock följde linjerna ut i universum bort bland stjärnorna.
Av parallellaxiomet följer, att summan av en triangels tre vinklar är exakt 180° och
att varje fyrkant, som begränsas av parvis parallella sidor, äger motstående sidor lika
långa, så att den genom ett snitt kan förvandlas till en rektangel. Snittet göres nämligen
genom ett av de trubbiga hörnen vinkelrätt mot ena sidoparet (den streckade linjen i
fig. 62 vänster), och den avskurna delen måste då, när den inpassas vid motsatta sidor av
figuren, fullborda denna till en rektangel (se fig. 62 höger). Att de bägge linjestycken,
som bilda den hopskarvade rektangelsidan, verkligen bilda en rät linje framgår
nämligen av parallellaxiomet, ty bägge linjestyckena äro parallella med den motsatta
rektangelsidan, och genom en punkt kan det enligt parallellaxiomet endast gå en enda
linje parallell mot en annan linje. Eftersom arealen av rektangeln är produkten av
sidorna och den enå sidan är avståndet mellan parallellogrammens sidor, så erhålles
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
