Euclidis Elementa / 28-29 (1844) Author: Euklides Translator: Per Reinhold Bråkenhielm Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Första Boken. XII Axiomet - Första Boken. XXIX Proposition. Theorem

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

XII Axiomet.


Om vinklarne DAB+ABF< tvänne räta; så skall
det bevisas, att CD och EF råka hvarandra, om E de
utdragas åt D och F.


a. 28 prop.
b. 13 prop.
c. 17 prop.

Bevis. Emedan vinklarne DAB+ABF< tvänne räta,
så måste en rät linea, GH, kunna dragas så, att
hon skär CD uti A, och att vinklarne GAB+ABF= tvänne räta.
Då måste GH vara parallel med FE, a; om då icke CD råkar
EF, när de båda utdragas; så skulle tvänne räta lineer CD och
GH, som skär hvarandra, båda vara parallela
med en och samma räta linea EF, hvilket är
omöjligt; alltså måste CD och EF råka hvarandra,
om de utdragas.

Om nu dessa båda räta lineer CD och EF kunde råka
hvarandra, när de utdragas åt C och E; så skulle de
tre räta lineerna CA, AB, BE formera en triangel, och
BAC, ABE vara tvänne vinklar uti denna triangel. Nu
äro alla fyra vinklarne

DAB+BAC+ABF+ABE= fyra räta, b;
och tvänne af dem, DAB+ABF<tvänne räta
enligt hypothesen, hvadan de återstående tvänne
BAC+ABE> tvänne räta,
d. v. s. att tvänne vinklar uti en triangel skulle
tillhopa vara större än tvänne räta, hvilket är
omöjligt, c. Alltså råkas CD och EF icke åt
C och E, utan åt D och F; h. s. b.


XXIX Proposition: Theorem.

Om en rät linea råkar tvänne räta lineer, som äro
parallela: så gör hon

1:o Alternatvinklarna lika stora.

2:o Den yttre vinkeln lika stor med den, som står emot
honom innantill, på samma sida om den skärande lineen.

3:o De båda vinklarna, som stå innantill på samma
sida, tillhopatagne lika stora med tvänne räta.


1:o Om AB är parallel med CD; så skall det bevisas,
att vinkeln AGH=GHD.

Bevis. Ty om AGH>GHD; så skulle
AGH+BGH>GHD+BGH ............................ 4 axiom
men AGH+BGH = 2 räta vinklar ............... 13 prop.
derföre skulle GHD+BGH<2 räta, hvadan AB och
CD måste råkas, om de utdragas, enligt 12:te axiom.
Men emedan dessa lineer, enligt hypothesen, äro parallela,
så kunna de ej råkas; och således kunna ej heller
GHD+BGH< 2 räta vinklar, och icke
GHD+BGH<AGH+BGH, ej heller
GHD<AGH d. v. s. att icke
AGH>GHD

På samma sätt bevises, att icke AGH < GHD; alltså
måste AGH = GHD; h. s. b.

2:o Om AB är parallel med CD; så skall vinkeln
EGB=GHD.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>