Efter sexåriga studier vid universitetet i Uppsala, vann B. 1842 filosofiska graden och ingick som e. o. amanuens i riksarkivet. Samma år förordnad till hist. patr. docens, lämnade han i slutet af 1845 sin akademiska befattning, för att fortsätta sina studier och sin tjänstgöring i riksarkivet, där han befordrades till ordinarie amanuens 1847. År 1853 utnämnd till aktuarie vid den historiska afdelningen af nämnda ämbetsverk, tjänstgjorde han såsom protokollsförande i den kommitté, som under kanslärens, d. v. kronprinsens ordförandeskap, 1849 utarbetade förslag till nya statuter för universiteten och förordnades till ledamot i den kommitté, som 1859 afgaf utlåtande i fråga om styrelseverkens förenkling, hvarjämte han haft många andra viktiga uppdrag. B. blef 1874 riksarkivarie, hvilken post han lämnade 1882.
Som historisk forskare har B. riktat den akademiska litteraturen med de värdefulla afhandlingarna De forma regiminis Sueciæ MDCXXXIV confirmata 1842, samt De institutione nobilium in patria sæculo XVII ex actis publicis 1842. Han har dessutom författat Berättelse om riksdagen i Stockholm 1713-1714 (skrift som vunnit Svenska akademiens stora pris 1844); Om svenska statsskickets förändring efter Carl XIII:s död (inträdestal i K. vitt.-, hist.- och ant.-akad. 1854); uppsatser och recensioner o. s. v.
Gift 1847 med Beata Helena Aurora Sederholm.
Hans son Carl Erik Alexander, född d. 31 juli 1849, student i Uppsala, filosofie doktor 1875 och docent i zoologi vid universitetet därstädes s. å., har företagit vidsträckta resor, ej allenast till de flesta europeiska kulturland, utan äfven 1882-83 till Västindien, Centralamerika och norra Sydamerika, hvilkas intryck han skildrat i Resa i Central-Amerika 1881-83 (2 bd 1887). Han tog en verksam del i biologiska museets bildande och har äfven till svenskan öfversatt åtskilliga dramatiska arbeten, bl. a. af Echegaray.
