Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Talteori - Talus - Talus - Talweg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
Afgørelsen af, om Tal er Primtal. Af Sætninger
om Delelighed maa nævnes Fermat’s: et
Primtal p, der ikke gaar op i et helt Tal a, gaar op
i aP-1 -1, og Wilson’s: et Primtal p gaar op
i 1 . 2 . 3 ... (p—1) + 1. Fermat’s Sætning gav
Stødet til Gauss’ Opstilling af Teorien om de
saakaldte Kongruenser. At to hele Tal a
og b er kongruente for Modulus p, vil
sige, at de giver samme Rest ved Division med
p, og det skrives saaledes: a≡b (Mod. p). De
mest undersøgte Kongruenser har Formen
xp<i> ≡ 1 (Mod. p), hvor p er et Primtal; de
tilfredsstilles iflg. Fermat’s Sætning af x = 1,
2, 3, . . . (p — 1) (Kongruensens Rødder).
Vælges en vilkaarlig Modulus M, og sættes i
Kongruensen Eksponenten lig Antallet af Tal
mindre end M og primiske med M, vil disse
sidstnævnte Tal alle være Rødder i Kongruensen
iflg. en af Euler given Udvidelse af Fermat’s
Sætning. T. behandler Spørgsmaalet om,
hvilke af en saadan Kongruenses Rødder der er
primitive, ɔ: ikke er Rødder i nogen Kongruens
af samme Form, men med lavere Eksponent,
ved hvilken Undersøgelse den vigtige
Reciprocitetssætning kommer til Anvendelse, og
medtager ogsaa Kongruenser af den mere
almindelige Form: et i x helt og rationalt
Polynomium med hele Koefficienter ≡ 0 for en vis
Modulus. Kongruenserne er specielle Tilfælde
af de ubestemte Ligninger, hvorved forstaas
hele, rationale Ligninger med hele
Koefficienter, der søges tilfredsstillede af hele Værdier
for de ubekendte. I nær Forbindelse med disse
Ligningers Teori staar Behandlingen af de
aritmetiske Former, ɔ: Polynomier, der er hele,
rationale og homogene m. H. t. nogle variable
og har hele Koefficienter. Man har undersøgt
disse Formers — særlig de kvadratiskes —
Transformation til hinanden og Muligheden af
at fremstille et forelagt helt Tal ved en saadan
Form for hele Værdier af de variable; her
bevises saaledes Sætningen, at et Primtal af
Formen 4n ÷ 1 altid er en Sum af to Kvadrattal.
Disse Undersøgelser skyldes i særlig Grad
Gauss, Dirichlet og Kronecker, hvilken sidste
anvender de elliptiske Funktioners Teori. T.
omhandler videre forsk. talteoretiske
Funktioner, saasom Antallet af Tal mindre end et
givet Tal og primiske med det (den Euler’ske
Funktion), Antallet og Summen af et Tals
Faktorer m. m. Primtallenes Fordeling i
Talrækken har beskæftiget mange Matematikere
(se Primtal). Et nyere Afsnit af T.
behandler de saakaldte ’»Tallegemer«, særlig de
algebraiske; et algebraisk Tallegeme dannes af
alle rationale Funktioner med rationale
Koefficienter af en opgiven Samling algebraiske Tal
(se Tal). En Ligning med én Ubekendt og
rationale Koefficienter, der er irreduktibel, d. v. s.
ikke kan deles i Ligninger af lavere Grader
med rationale Koefficienter, kan være
reduktibel i visse Tallegemer; saaledes er x2 — 3 =
0 reduktibel i Tallegemet bygget over kvadratrod(3), idet
den deler sig i x + kvadratrod(3)= 0 og x — kvadratrod(3) = 0. Denne
Reduktion til lavere Grader spiller en betydelig
Rolle for Spørgsmaalet om Ligningers
algebraiske Opløselighed. Her maa ogsaa nævnes
Kronecker’s aritmetiske Teori for de algebraiske
Størrelser, der behandler algebraiske
Problemer ved talteoretiske Metoder (Werke 2, p.
237). — Spor af T. findes tidlig, saaledes
allerede hos Kineserne, der beskæftigede sig med
Tryllekvadrater (s. d.). Hos Grækerne træffer
vi Dannelsen af retvinklede Trekanter med
rationale Sider, altsaa Løsningen af den
ubestemte Ligning x2+y2=z2, samt Opstillingen
af fuldkomne og venskabelige Tal (s. d.)
(Pytagoræerne og Eukleides) og af Figurtal
(Nichomachos), videre Summation af Kvadrattallene
(Archimedes) og Kubiktallene. Eratosthenes
gav en Metode til Optælling af Primtallene.
Eukleides viser Metoden til Bestemmelse af
Tals største fælles Maal. Diofantos behandlede
ubestemte Ligninger, idet han dog kun krævede
rationale Løsninger, ikke hele; hans
Undersøgelser har virket meget befrugtende paa
senere Talteoretikere. Inderne gav
Fremgangsmaader til Løsninger af ubestemte Ligninger i
hele Tal. Araberne beskæftigede sig med
Tryllekvadrater, Potenstals Summation og Dannelsen
af venskabelige Tal; Alchodshandi viste, at
Ligningen x3+y3=z3 ikke har rationale
Løsninger. Under Matematikkens Genopvaagnen i
Europa i Slutn. af Middelalderen og den flg.
Tid træffer vi en Behandling af ubestemte
Ligninger hos Leonardo fra Pisa, Vieta, Bachet
de Méziriac, der havde en virkelig Teori for
ubestemte Ligninger af første Grad, og
Regiomontanus. Fermat, der studerede Diofant meget
nøje, fik en overordentlig Betydning for T.’s
Udvikling først og fremmest ved hans ovf. omtalte
Teorem, men ogsaa gennem en Mængde andre
Sætninger, af hvilke adskillige meddeltes uden
Bevis og saaledes ansporede senere
Matematikere til talteoretiske Undersøgelser; et
Eksempel herpaa er den endnu ikke helt beviste
Sætning, at Ligningen xn + yn = zn (n > 2) ikke kan
tilfredsstilles af hele Tal. Fermat’s Arbejder
blev grundig gennemgaaede af Euler, der
supplerede dem med adskillige Beviser og ogsaa
paapegede Fejl, saaledes ved Eksempler
godtgjorde, at 22 + 1 ikke altid, som paastaaet af
Fermat, er et Primtal. Gauss’ berømte Værk
Disquisitiones Aritmeticæ med sin Behandling
af Kongruenser og Indførelse af komplekse Tal
i T. er grundlæggende; Legendre’s Théorie des
nombres giver en ordnet Fremstilling af T. og
indeholder af nyt hans Reciprocitetssætning. Af
berømte Navne i T. maa endnu nævnes
Lagrange, Eisenstein, Dirichlet, Kummer, Sylvester,
Tschebyscheff, Hermite, Hilbert, Minkowski,
Dedekind.
Chr. C.
Talus [ta’ly] (geologisk) kaldes undertiden
den nederste jævnt skraanende Del af Klinter
eller andre stejle Gennemskæringer af
Jordlagene. T. bestaar i Reglen af løse nedskredne
Masser af de højere liggende Jordlag.
J. P. R.
Talus (lat.), Rulleben, se Fod.
Talweg [’ta.lve.k], egentlig Dalvej,
Dalføre, Sejlløbet i en Flod, en Betegnelse, der
fra Tysk er optaget i andre Sprog. I
Overensstemmelse med den ældre Teori delte
Nabostater tidligere Grænsefloder efter Midtlinien,
en Regel, der ogsaa findes optaget i enkelte
nyere Traktater, f. Eks. den lettisk-russiske af
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
